Mitä
Neliöjuuri

Lipoma

Oppitunnissa ”Numeroaste” kävimme läpi, että luvun neliöinti tarkoittaa luvun kertomista itse. Lyhyesti kirjoittamalla numero neliöksi on seuraava:

Mutta entä jos meidän on saatava päinvastainen tulos? Esimerkiksi, selvitä, mikä numero neliöinä antaa numeron "9"?

Alkuperäisen numeron löytäminen, joka neliönä antaisi vaaditun, kutsutaan neliöjuuren poistoksi.

Neliöjuuren korjuu on päinvastainen kuin neliöinti.

Neliöjuurella on erityinen merkki. Yllä olevien laskelmien perusteella on helppo arvata, että neliö, joka antaa arvon “9”, on luku “3”. Tietue luvun "9" neliöjuuren purkamisesta näyttää tältä:

Luimme merkinnän: "Yhdeksän aritmeettinen neliöjuuri." Voit jättää sanan "aritmeettinen". Lauseet "aritmeettinen neliöjuuri" ja "neliöjuuri" ovat täysin vastaavia.

Juurtunnuksen alla olevaa numeroa kutsutaan juurilausekkeeksi.

Radikaalia ilmaisua ei voida edustaa vain yhdellä numerolla. Kaikkea, joka on juuren merkin alla, kutsutaan juurtuneeksi lausekkeeksi. Se voi sisältää sekä numeroita että kirjaimia.

Voit poimia neliöjuuren vain positiivisesta luvusta.

  • √ −9 =... negatiivisen luvun neliöjuuria ei voi purkaa;
  • √ 64 = 8
  • √ −1.44 =... negatiivisen luvun neliöjuuria ei voi purkaa;
  • √ 256 = 16

Neliön neliöjuuri

Nollan neliöjuuri on nolla.

Yhden neliöjuuri

Yhden neliöjuuri on yksi.

Kuinka löytää numeron neliöjuuri

Niiden kokonaislukujen neliöjuuret, joiden neliöt tunnetaan, on melko helppo laskea. Opi tämä vain oppimaan neliötaulukko.

Useimmiten matematiikan koulutuskurssin ongelmissa vaaditaan numeroiden neliöiden neliöjuuren löytäminen välillä 1 - 20.

Esimerkkejä neliöjuurista

Nro 307 Alimov 9. luokka

Laske luvun aritmeettinen neliöjuuri.

Kuinka löytää desimaalin neliöjuuri?

Kun etsit desimaalijakeen neliöjuuren, sinun on suoritettava seuraavat vaiheet:

  1. unohtaa pilkun alkuperäisen desimaalin murto-osassa ja esittä se kokonaislukuna;
  2. laske kokonaisluvun neliöjuuri;
  3. korvata tuloksena oleva kokonaisluku desimaaliluvulla (laita pilkku desimaalikertolaskuun perustuen).

Tutkimme yksityiskohtaisemmin alla olevan esimerkin avulla.

Nro 307 Alimov 9. luokka

Laske desimaalimuodon neliöjuuri "0,16".

Unohda säännön ensimmäisen kappaleen desimaalipilkun pilkku ja edusta sitä kokonaislukuna "16".

On helppo muistaa, mikä neliön numero antaa ”16”. Tämä on numero "4".

Muista desimaalikertolasku. Desimaalien määrä kertomalla desimaalijaksojen lukumäärä on yhtä suuri kuin kunkin jakson desimaalien lukumäärän summa.

Toisin sanoen, kun kerrotaan ”0,15” luvulla “0,3”, tuloksena olevalla tuotteella on desimaaliluku kolmella desimaalilla.

Joten laskettaessa neliöjuuria √ 0,16, meidän on löydettävä desimaalijae, jossa olisi vain yksi desimaali. Jatkamme tosiasiasta, että tuloksena kertomalla desimaalin murto itse, tuloksen olisi pitänyt olla kahden desimaalin tarkkuudella, kuten desimaalin murto-osassa “0,16”..

Osoittautuu, että vastaus on desimaaliluku "0,4".

Varmista, että desimaalimuodon neliö "0,4 2" antaa "0,16". Kerro sarakkeessa "0.4" luvulla "0.4".

Harkitse toista esimerkkiä desimaalin tarkkuuden neliöjuuren laskemisesta. Laskea:

Kuvittele desimaaliluvun "1,44" sijasta kokonaisluku "144". Mikä numero ruudussa antaa "144"? Vastaus on numero "12".

Koska desimaalimuodossa “1,44” - kaksi desimaalia, joten desimaalijaossa, joka antoi neliön “1,44”, pitäisi olla yksi desimaali.

Varmista, että "1,2 2" antaa neliön "1,44".

1,2 2 = 1,2 · 1,2 = 1,44

Lukien √ 2, √ 3, √ 5, √ 6 jne. Neliöjuuret.

Kaikista numeroista ei voi helposti poimia neliöjuuria. Esimerkiksi, ei ole lainkaan selvää, mitkä √ 2 tai √ 3 jne..

Itse asiassa mikä numero ruudussa antaa “2”? Tai numero "3"? Tällainen luku ei ole kokonaisluku. Lisäksi se on jaksoittainen desimaalijae, ja se sisältyy moniin irrationaalisiin lukuihin.

Mitä tehdä, kun vastaavat neliöjuuret jäävät vastaukseen? Kuten esimerkiksi alla olevassa esimerkissä:

√ 15 - 2 · 4 = √ 15 - 8 = √ 7

Ei ole kokonaislukua, joka antaisi numeron "7" neliöksi. Siksi, ennen kuin suoritat tehtävän, lue huolellisesti sen tila.

Jos tehtävä ei myöskään sano mitään kaikkien neliöjuurten pakollisesta laskemisesta, vastaus voidaan jättää juuri.

√ 15 - 2 · 4 = √ 15 - 8 = √ 7

Jos tehtävä sanoo, että on tarpeen laskea kaikki neliöjuuret mikrolaskurilla, niin kun olet laskenut neliöjuuren laskurilla, pyöristä tulos tarvittavaan määrään merkkejä.

Tässä tapauksessa tehtävän teksti voidaan kirjoittaa seuraavasti:

"Laskea. Löydä neliöjuuret laskurilla ja pyöristä tarkkuudella 0,001..

√ 15 - 2 · 4 = √ 15 - 8 = √ 7 ≈ 2 646

Kuinka löytää neliöjuuren? Ominaisuudet, esimerkkejä juurten poistosta

Matematiikka syntyi, kun ihminen tajusi itsensä ja alkoi asettua itsenäiseksi maailman yksiköksi. Halu mitata, vertailla ja laskea sitä, mikä ympäröi sinua - se oli perustana yhdelle nykypäivän perustieteille. Aluksi nämä olivat perusmatematiikan hiukkasia, jotka tekivät mahdolliseksi yhdistää numerot fyysisiin lausekkeisiinsa, myöhemmin johtopäätöksiä alettiin esittää vain teoreettisesti (niiden abstraktisuuden vuoksi), mutta jonkin ajan kuluttua, kuten yksi tutkija sanoi, "matematiikka saavutti monimutkaisuuden rajan, kun ne katosivat siitä. kaikki numerot. " Käsite "neliöjuuri" ilmestyi aikaan, jolloin sitä voitiin helposti tukea empiirisellä datalla, joka ylitti laskentatason..

Miten kaikki alkoi

Ensimmäinen juuren mainitseminen, joka tällä hetkellä on nimeltään √, kirjattiin Babylonian matemaatikkojen kirjoituksiin, jotka loivat perustan nykyaikaiselle aritmeetialle. Tietenkin ne näyttivät hiukan nykymuodolta - noiden vuosien tutkijat käyttivät ensin tilaa vieviä tabletteja. Mutta toisella vuosituhannella eKr. e. he päättelivät likimääräisen laskentakaavan, joka osoitti, kuinka neliöjuuri voidaan purkaa. Alla olevassa valokuvassa on kivi, jolle babylonialaiset tutkijat veivät √2-johdannaista, ja se osoittautui niin totta, että vastauksen vastaisuus löytyi vain kymmenesosa desimaalin tarkkuudella.

Lisäksi juuri käytettiin, jos oli tarpeen löytää kolmion sivu, edellyttäen että kaksi muuta tunnetaan. No, kun ratkaistaan ​​kvadraattisia yhtälöitä, ei ole mitään tilaa juurten poistolle.

Babylonialaisten teosten ohella artikkelin kohdetta tutkittiin myös kiinalaisessa teoksessa ”Matematiikka yhdeksässä kirjassa” ja muinaiset kreikkalaiset päättelivät, että mikä tahansa luku, josta mitään juuria ei voida erottaa ilman jäännöstä, antaa irrationaalisen tuloksen..

Tämän ilmaisun alkuperä liittyy numeron arabialaiseen esitykseen: muinaiset tutkijat uskoivat, että mielivaltaisen määrän neliö kasvaa juurista, kuten kasvi. Latinaksi tämä sana kuulostaa radikalta (voit jäljittää kuvion - kaikki, jolla on "juuren" semanttinen kuormitus, on konsonantti, olipa se retiisi tai radikuliitti).

Seuraavien sukupolvien tutkijat ottivat tämän idean esiin nimittämällä se Rx: ksi. Esimerkiksi XV vuosisadalla he kirjoittivat R 2 a osoittaakseen, että neliöjuuri on poistettu mielivaltaisesta määrästä a. Nykyaikaiseen ilmeeseen tuttu ”valintamerkki” ilmestyi vasta 1700-luvulla Rene Descartesin ansiosta.

Päiväämme

Matemaattisesta näkökulmasta y: n neliöjuuri on luku z, jonka neliö on y. Toisin sanoen z 2 = y on yhtä kuin √y = z. Tämä määritelmä on kuitenkin merkityksellinen vain aritmeettisen juuren suhteen, koska se merkitsee lausekkeen ei-negatiivista merkitystä. Toisin sanoen, √y = z, missä z on suurempi tai yhtä suuri kuin 0.

Yleisessä tapauksessa, mikä pätee algebrallisen juuren määrittämiseen, lausekkeen arvo voi olla joko positiivinen tai negatiivinen. Siksi, koska z 2 = y ja (-z) 2 = y, meillä on √y = ± z tai √y = | z |.

Koska matematiikan rakkaus on vain lisääntynyt tieteen kehityksen myötä, siihen liittyy monia kiinnittymisen ilmenemismuotoja, joita ei ilmaista kuivissa laskelmissa. Esimerkiksi sellaisten viihdyttävien tapahtumien kuten Pi-päivän ohella juhlitaan myös neliöjuuren lomaa. Niitä juhlitaan yhdeksän kertaa sata vuotta, ja ne määritetään seuraavan periaatteen mukaisesti: päivän ja kuukauden järjestyksen osoittavien numeroiden tulisi olla vuoden neliöjuuri. Joten ensi kerralla juhlimaan tätä lomaa 4. huhtikuuta 2016.

Neliöjuuren ominaisuudet kentällä R

  1. Tuotteen neliöjuuri on yhtä suuri kuin neliöjuuren tuote, edellyttäen että radikaalien ilmaisu on suurempi tai yhtä suuri kuin 0.
  2. Nostaessasi neliöjuuren voimaan riittää, että nostat juureksen tälle voimalle edellyttäen, että se on suurempi kuin nolla.
  3. Jakeen neliöjuuri on yhtä suuri kuin osoittajan juuri, jaettuna nimittäjän juurella, edellyttäen että osoittajan radikaaliilmaisu on suurempi tai yhtä suuri kuin 0 ja nimittäjän radikaaliilmaisuus on ehdottomasti suurempi kuin 0.
  4. Juuren lauseke, jos se on suurempi kuin nolla, voidaan jakaa useisiin osiin, joista puolestaan ​​on sallittua poimia juuri. Esimerkiksi: √75 = √25 * 3 = 5√3.
  5. Juurimerkin alle voit kirjoittaa minkä tahansa numeron, samalla kun se neliöidaan. Esimerkiksi: 5√8 = √25 * √8 = √200.

Lähes kaikilla matemaattisilla lausekkeilla on geometrinen perusta alla; tämä kohtalo ei ole ohittanut √y, joka määritellään neliön puoleksi, jonka alue y.

Kuinka löytää numeron juuri?

Laskenta-algoritmeja on useita. Yksinkertaisin, mutta melko hankala on tavallinen aritmeettinen laskelma, joka koostuu seuraavasta:

1) siitä määrästä, jonka juuri juuri tarvitsemme, parittaiset numerot vähennetään vuorotellen - kunnes lopputulos on vähemmän kuin vähennetty luku tai jopa yhtä suuri kuin nolla. Liikkeiden määrästä tulee lopulta haluttu luku. Esimerkiksi laskemalla neliöjuuri 25:

Seuraava pariton luku on 11, loput ovat seuraavat: 1 n (2n)! / (1-2n) (n!) 2 (4 n)) y n, missä n ottaa arvot välillä 0 -

Graafinen esitys toiminnosta z = √y

Tarkastellaan perusfunktion z = √y todellisten lukujen R kentällä, missä y on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla. Hänen aikataulu on seuraava:

Käyrä kasvaa lähtöpisteestä ja leikkaa välttämättä pisteen (1; 1).

Funktion z = √y ominaisuudet todellisten lukujen kentässä R

1. Kyseisen funktion määritelmäalue on väliltä nollasta plus äärettömyyteen (nolla sisältyy hintaan).

2. Kyseisen funktion arvoalue on väliltä nollasta plus äärettömyyteen (nolla sisältyy jälleen).

3. Toiminto ottaa minimiarvon (0) vain pisteessä (0; 0). Ei maksimiarvoa.

4. Toiminto z = √y ei ole parillinen tai pariton.

5. Toiminto z = √y ei ole jaksollinen.

6. Funktion z = √y kuvaajan leikkauspiste koordinaattiakseleiden kanssa on vain yksi: (0; 0).

7. Funktion z = √y kuvaajan leikkauspiste on myös tämän funktion nolla.

8. Toiminto z = √y kasvaa jatkuvasti.

9. Toiminto z = √y ottaa vain positiivisia arvoja, joten sen kuvaaja vie ensimmäisen koordinaattikulman.

Vaihtoehdot toiminnolle z = √y

Matematiikassa monimutkaisten lausekkeiden laskennan helpottamiseksi käytetään toisinaan neliöjuuren kirjoittamisen tehomuotoa: √y = y 1/2. Tämä vaihtoehto on kätevä esimerkiksi nostamalla funktio tehoon: (√y) 4 = (y 1/2) 4 = y 2. Tämä menetelmä on myös hyvä esitys integroinnissa erotettaessa, koska sen ansiosta neliöjuuri näyttää olevan tavallinen tehofunktio.

Ja ohjelmoinnissa √ -merkin korvaaminen on yhdistelmä sqrt-kirjaimia.

Neliöjuuri monimutkaisessa kentässä C

Yleisesti ottaen juuri tämän artikkelin aihe stimuloi monimutkaisten lukujen C kentän löytämistä, koska matemaatikoita ahdisti kysymys tasaisen juuren saamisesta negatiivisesta luvusta. Joten kuvitteellinen yksikkö i ilmestyi, jolle on ominaista erittäin mielenkiintoinen ominaisuus: sen neliö on -1. Tämän ansiosta kvadraattiset yhtälöt saivat myös ratkaisun negatiivisen erottajan kanssa. C: ssä, neliöjuuressa, samat ominaisuudet ovat merkityksellisiä kuin R: ssä, ainoa asia on, että rajoitukset poistetaan radikaalilausekkeesta.

juuri

Historiallinen juurikehitys

Fylogeneettisesti juuri syntyi myöhemmin kuin varsi ja lehti - kasvien siirtyessä maahan ja todennäköisesti laskeutuneen juurimaisista maanalaisista oksista. Juurella ei ole lehtiä eikä silmuja tietyssä järjestyksessä. Sille on tunnusomaista pituussuuntainen kasvu, sen sivuhaarat syntyvät sisäkudoksista, kasvupiste on peitetty juurikatolla. Juurijärjestelmä muodostuu koko kasvi-organismin elämän ajan. Joskus juuri voi toimia saostumispaikkana ravinteiden saannissa. Tässä tapauksessa sitä muutetaan.

Juurtotyypit

Pääjuuri muodostuu siemenjuurista siementen itämisen aikana. Sivujuuret ulottuvat siitä.

Lisäjuuret kehittyvät varreista ja lehtiä.

Sivuttaisjuuret ovat minkä tahansa juurien oksat.

Jokaisella juurella (pää, sivusuunnassa, alaisella) on kyky haaroittaa, mikä lisää merkittävästi juurijärjestelmän pintaa, ja tämä myötävaikuttaa kasvin parempaan vahvistumiseen maaperässä ja parantaa sen ravintoa.

Juurijärjestelmien tyypit

Juurijärjestelmiä on kahta päätyyppiä: ydin, jolla on hyvin kehittynyt pääjuuri, ja kuituinen. Kuitumainen juurijärjestelmä koostuu suuresta määrästä samankokoisia alajuuria. Koko juurten massa koostuu sivu- tai lisäjuureista ja näyttää lohkalta.

Erittäin haarautunut juurijärjestelmä muodostaa valtavan imukykyisen pinnan. esimerkiksi,

  • talvirukin juurten kokonaispituus on 600 km;
  • juurikarvojen pituus - 10 000 km;
  • juurien kokonaispinta - 200 m 2.

Tämä on monta kertaa suurempi kuin pintamassa.

Jos kasvalla on hyvin määritelty pääjuuri ja alajuuret kehittyvät, muodostuu sekatyyppinen juurijärjestelmä (kaali, tomaatti).

Juuren ulkoinen rakenne. Juuren sisäinen rakenne

Juurivyöhykkeet

Juuri kotelo

Juuri kasvaa pituudeltaan huipussaan, missä kasvatuskudoksen nuoret solut sijaitsevat. Kasvava osa peitetään juurikannella, joka suojaa juuren kärkeä vaurioilta ja helpottaa juurin liikkumista maaperässä kasvun aikana. Jälkimmäinen toiminto suoritetaan johtuen liman peittämän juurikannen ulkoseinien ominaisuuksista, mikä vähentää juuren ja maaperän hiukkasten välistä kitkaa. Maaperän hiukkaset voivat jopa liikkua toisistaan. Juurikannen solut ovat eläviä, sisältäen usein tärkkelysjyviä. Korkin soluja päivitetään jatkuvasti jakautumisen vuoksi. Osallistuu positiivisiin geotrooppisiin reaktioihin (juurien kasvun suunta maan keskustaan).

Jakovyöhykkeen solut jakautuvat aktiivisesti, tämän vyöhykkeen pituus on erilainen eri lajeille ja saman kasvin eri juurille.

Jakovyöhykkeen takana on venytysvyöhyke (kasvuvyöhyke). Tämän vyöhykkeen pituus ei ylitä muutamaa millimetriä.

Kun lineaarinen kasvu on valmis, juurten muodostumisen kolmas vaihe alkaa - sen erilaistuminen, solujen erilaistumis- ja erikoistumisalue (tai juurikarvojen ja imeytymisen alue) muodostuu. Tällä vyöhykkeellä epibleman (rhizoderma) ulkokerros juurikarvoineen, primaarikuoren kerros ja keskisylinteri erotetaan jo.

Juurien hiusrakenne

Juurikarvat ovat juuria peittävien ulkoisten solujen voimakkaasti pitkänomaisia ​​kasvustoja. Juurekarvojen lukumäärä on erittäin suuri (1 mm2: llä 200-300 karvaa kohti). Niiden pituus on 10 mm. Hiukset muodostuvat hyvin nopeasti (nuorilla omenapuun taimilla 30–40 tunnissa). Juurikarvat ovat lyhytaikaisia. Ne kuolevat 10-20 päivässä, ja uusia kasvaa juuren nuoressa osassa. Tämä varmistaa uusien maaperän horisonttien juurikehityksen. Juuri kasvaa jatkuvasti, muodostaen yhä enemmän uusia juurikalvojen osia. Hiukset eivät voi vain imeä valmiita aineliuoksia, vaan myös osaltaan auttaa maaperän tiettyjen aineiden liukenemista ja absorboida ne sitten. Juurialue, josta juurikarvat ovat kuolleet, kykenee absorboimaan vettä jonkin aikaa, mutta sitten peittyy korkilla ja menettää tämän kyvyn.

Hiusten kuori on erittäin ohut, mikä helpottaa ravintoaineiden imeytymistä. Lähes koko hiussolun on vakuumi, jota ympäröi ohut kerros sytoplasmaa. Ydin on solun yläosassa. Solun ympärille muodostuu limakalvo, joka edistää juurikarvojen sitoutumista maahiukkasiin, mikä parantaa niiden kosketusta ja lisää järjestelmän hydrofiilisyyttä. Imeytymistä edistää happojen (hiilihappo, omenahappo, sitruunahappo) jakautuminen juurakarvoilla, jotka liuottavat mineraalisuoloja.

Juurakarvoilla on myös mekaaninen rooli - ne tukevat juuren kärkeä, joka kulkee maaperän hiukkasten välillä.

Mikroskoopin alla imeytymisvyöhykkeen juurin poikkileikkaus näyttää sen rakenteen solu- ja kudostasoilla. Juurin pinnalla on juurakko, sen alla on kuori. Kuoren ulkokerros on eksodermi, siitä sisäänpäin on pää parenkyyma. Sen ohutseinäiset elävät solut suorittavat säilytystoiminnon, suorittavat ravinneratkaisuja radiaalisuunnassa - imukudoksesta puun säiliöihin. Niissä tapahtuu useiden kasvien kannalta tärkeiden orgaanisten aineiden synteesi. Kuoren sisäkerros on endodermi. Ravintoliuokset aivokuoresta keskisylinteriin endodermisolujen kautta kulkevat vain solun protoplastin läpi.

Kuori ympäröi juuren keskimmäistä sylinteriä. Se rajoittuu solukerrokseen, joka säilyttää kyvyn jakaa pitkään. Tämä on pericycle. Perisyklisolut aiheuttavat sivujuuret, lisämunuaiset ja keskiasteen koulutuskudokset. Sisältä sydänpussista, juurin keskellä, ovat johtavia kudoksia: nasta ja puu. Yhdessä ne muodostavat säteen johtavan säteen.

Juurijärjestelmä johtaa vettä ja mineraaleja juuresta varteen (ylöspäin virta) ja orgaanisia aineita varresta juureen (alaspäin virta). Se koostuu verisuonikuitumaisista kimpuista. Palkin pääkomponentit ovat phloem-osat (joita aineet liikkuvat juureen) ja ksylem (jota pitkin aineet liikkuvat juuresta). Floemin tärkeimmät johtavat elementit ovat seulaputket, ksylem-henkitorvi (verisuonet) ja henkitorvit.

Juuriprosessit

Juuriveden kuljetus

Veden imeminen juurikarvoilta maaperän ravinneliuosta ja johtamalla sitä säteittäisesti primaarikuoren soluja pitkin endodermin läpi kulkevien solujen läpi säteittäisesti johtavan säteen ksylemiin. Juurikarvojen veden imeytymisen voimakkuutta kutsutaan imuvoimaksi (S), se on yhtä suuri kuin ero osmoottisen (P) ja turgor (T) paineen välillä: S = P-T.

Kun osmoottinen paine on yhtä suuri kuin turgoripaine (P = T), sitten S = 0, vesi lakkaa virtaamasta juurikarvan soluun. Jos aineiden pitoisuus maaperän ravinneliuoksessa on korkeampi kuin solun sisällä, vesi poistuu soluista ja plasmolyysi alkaa - kasvit kuihtuvat. Tätä ilmiötä havaitaan kuivassa maaperässä sekä mineraalilannoitteiden liiallisessa levityksessä. Juurisolujen sisällä juurin imemislujuus kasvaa juurtuneesta kohti keskisylinteriä, joten vesi liikkuu konsentraatiotaajuutta pitkin (ts. Paikasta, jolla on korkeampi konsentraatio, kohtaan, jolla on pienempi konsentraatio) ja luo juuripaineen, joka nostaa vesipylvään ksylemisäiliöiden läpi. muodostaen ylöspäin virta. Tätä löytyy lehtivapaiden jousijaksojen kohdalta, kun mehu kerätään, tai leikattuihin kantoihin. Puun vedenvirtaus, tuoreet kannot, lehdet, kutsutaan kasvien "itkuksi". Kun lehdet kukkivat, ne luovat myös imemisvoiman ja vetävät vettä itsensä sisään - jokaisessa astiassa muodostuu jatkuva vesipylväs - kapillaarijännitys. Juuripaine on vesivirran alempi moottori, ja lehtien imemisvoima on ylempi. Tämä voidaan varmistaa käyttämällä yksinkertaisia ​​kokeita..

Juuren imu

Tarkoitus: selvittää juuri juuri päätoiminto.

Mitä teemme: märällä sahanpurulla kasvatettu kasvi, ravista juurtensa ja pudota juuret lasilliseen vettä. Kaada ohut kerros kasviöljyä veden päälle ja suojaa se haihtumiselta.

Mitä havaitsemme: päivässä tai kahdessa säiliön vesi putosi merkinnän alapuolelle.

Tulos: siksi juuret imivät vettä ja ruokkivat sitä lehtiin asti.

Voit silti tehdä yhden kokeen, jolla todistetaan ravintoaineiden imeytyminen juureen.

Mitä teemme: leikkaamme varren kasvista jättämällä kannon 2-3 cm korkealle. Laitamme kanteen 3 cm pitkä kumiputki ja laitamme yläpäähän kaarevan lasiputken, jonka korkeus on 20-25 cm..

Mitä havaitsemme: vesi lasiputkessa nousee ja valuu ulos.

Tulos: tämä todistaa, että juuri imee vettä maaperästä varteen.

Vaikuttaako veden lämpötila vesijuuren imeytymisen voimakkuuteen?

Tarkoitus: selvittää kuinka lämpötila vaikuttaa juureen.

Mitä teemme: yhden lasin tulee olla lämpimällä vedellä (+ 17-18ºС) ja toisen kylmällä (+ 1-2ºС).

Mitä havaitsemme: ensimmäisessä tapauksessa vettä vapautuu runsaasti, toisessa tapauksessa se ei riitä tai se loppuu kokonaan.

Tulos: Tämä on todiste siitä, että lämpötila vaikuttaa suuresti juuriin..

Lämpövesi imeytyy aktiivisesti juuriin. Juuripaine nousee.

Kylmä vesi juuret imevät huonosti. Tässä tapauksessa juuripaine laskee.

Mineraaliravinteet

Mineraalien fysiologinen rooli on erittäin suuri. Ne ovat perusta orgaanisten yhdisteiden synteesille, samoin kuin tekijät, jotka muuttavat kolloidien fysikaalista tilaa, ts. vaikuttavat suoraan protoplastin aineenvaihduntaan ja rakenteeseen; toimia katalysaattoreina biokemiallisissa reaktioissa; vaikuttavat solujen turgorien ja protoplasmien läpäisevyyteen; ovat kasvien organismien sähköisten ja radioaktiivisten ilmiöiden keskuksia.

Todettiin, että normaali kasvien kehitys on mahdollista vain, jos ravintoliuoksessa on kolme ei-metallia - typpi, fosfori ja rikki ja - ja neljä metallia - kalium, magnesium, kalsium ja rauta. Jokaisella näistä elementeistä on oma merkitys, eikä niitä voida korvata toisella. Nämä ovat makroelementtejä, niiden pitoisuus tehtaassa on 10 -2–10%. Kasvien normaaliin kehitykseen tarvitaan mikroelementtejä, joiden pitoisuus solussa on 10 -5 -10-3%. Tämä on boori, koboltti, kupari, sinkki, mangaani, molybdeeni jne. Kaikki nämä elementit ovat maaperässä, mutta joskus riittämättömiä määriä. Siksi maaperään levitetään mineraali- ja orgaanisia lannoitteita.

Kasvi kasvaa ja kehittyy normaalisti, jos kaikki tarvittavat ravintoaineet sisältyvät juuria ympäröivään ympäristöön. Tällainen ympäristö useimmille kasveille on maaperä..

Juuri hengitys

Kasvin normaalin kasvun ja kehityksen kannalta on välttämätöntä, että raikasta ilmaa pääsee juureen. Tarkista, onko tämä niin?

Tavoite: Tarvitseeko ilmaa juuri??

Mitä teemme: otamme kaksi identtistä astiaa vedellä. Laitamme kehittävät taimet jokaiseen astiaan. Joka päivä kyllästetään yhdessä astiassa olevaa vettä ilmalla ruiskutuspistoolilla. Kaada ohut kerros kasviöljyä toisen astian veden pinnalle, koska se viivästää ilman virtausta veteen.

Mitä havaitsemme: Jonkin ajan kuluttua toisen astian kasvi lopettaa kasvun, kuihtuu ja lopulta kuolee.

Tulos: kasvien kuolema tapahtuu juurien hengittämiseen tarvittavan ilman puutteen takia.

Juurtomuutokset

Joissakin kasveissa ravintoravinteet varastoituvat juuriin. Ne keräävät hiilihydraatteja, mineraalisuoloja, vitamiineja ja muita aineita. Tällaiset juuret kasvavat voimakkaasti paksuksiksi ja saavat epätavallisen ulkonäön. Sekä juuri että varsi osallistuvat juurikasvien muodostumiseen.

Roots

Jos varaosa-aineita kerääntyy pääjuuriin ja pääosan varren juureen, muodostuu juurikasveja (porkkanoita). Juurikasvit ovat pääasiassa kahden vuoden välein. Ensimmäisenä elämänvuonna ne eivät kukki ja keräävät paljon ravinteita juurikasveihin. Toiseksi - ne kukkivat nopeasti, käyttämällä varastoituja ravintoaineita ja muodostavat hedelmiä ja siemeniä.

Juurimukulat

Daaliassa vara-aineet kerääntyvät alajuuriin, muodostaen juurimukulat.

Bakteerien kyhmyt

Apilan, lupiinin, sinimailanen sivujuuret muuttuvat erityisellä tavalla. Bakteerit asettuvat nuoriin sivujuureihin, mikä myötävaikuttaa kaasumaisen typen assimilaatioon maaperän ilmassa. Tällaiset juuret ovat kyhmyjen muodossa. Näiden bakteerien ansiosta nämä kasvit kykenevät elämään typpipuolisissa maaperäissä ja tekevät niistä hedelmällisempiä..

Jäykkä

Vuorovesivyöhykkeellä kasvava ramppi kehittää juurtuneita juuria. He pitävät suuria lehtipuun versoja korkealla veden yläpuolella epävakaalla silkkisellä maaperällä..

antenni

Puun oksilla elävät trooppiset kasvit kehittävät ilmajuuria. Niitä esiintyy usein orkideoissa, bromeliadeissa, joissain saniaisissa. Ilmajuuret roikkuvat vapaasti ilmassa eivätkä pääse maahan ja imevät sateelta tai kasteelta niihin pudottavaa kosteutta.

kelauslaitteet

Sipulissa ja mukuloissa, esimerkiksi krookuksissa, lukuisien monimuotoisten juurten joukossa on useita paksumpia, ns. Vetäytyviä juuria. Vähentäen, sellaiset juuret vetävät suuraudan maaperään syvemmälle.

columnar

Ficus kehittää sarakkeessa kohonneita juuria tai rekvisiitta.

Maaperä juurten elinympäristönä

Kasvien maaperä on ympäristö, josta se vastaan ​​vettä ja ravinteita. Mineraalien määrä maaperässä riippuu kantakiven erityisominaisuuksista, organismien aktiivisuudesta, itse kasvien elintärkeestä toiminnasta ja maaperän tyypistä.

Maaperän hiukkaset kilpailevat juurien kanssa kosteudesta, pitäen sitä pinnallaan. Tämä on ns. Sitoutunut vesi, joka on jaettu hygroskooppiseen ja kalvoon. Sitä pitävät molekyylin vetovoimat. Kasvin käytettävissä olevaa kosteutta edustaa kapillaarivesi, joka on keskittynyt maaperän mataliin huokosiin.

Kosteuden ja maaperän ilmavaiheen välillä kehittyy antagonistinen suhde. Mitä suuremmat ovat maaperän suuret huokoset, sitä parempi on näiden maaperien kaasutila, sitä vähemmän kosteutta maaperä pitää. Suotuisinta vesi-ilma-tilaa ylläpidetään rakenteellisissa maaperäissä, joissa vesi ja ilma ovat samanaikaisesti eivätkä häiritse toisiaan - vesi täyttää kapillaarit rakenneyksiköiden sisällä ja ilma - suuret huokoset niiden välillä.

Kasvin ja maaperän välisen vuorovaikutuksen luonne liittyy pitkälti maaperän imeytymiskykyyn - kykyyn pitää kiinni tai sitoa kemiallisia yhdisteitä.

Maaperän mikrofloora hajottaa orgaanisen aineen yksinkertaisemmiksi yhdisteiksi, osallistuu maaperän rakenteen muodostumiseen. Näiden prosessien luonne riippuu maaperän tyypistä, kasvijäännösten kemiallisesta koostumuksesta, mikro-organismien fysiologisista ominaisuuksista ja muista tekijöistä. Maaperän eläimet osallistuvat maaperän rakenteen muodostumiseen: annelidit, hyönteisten toukat jne..

Maaperässä tapahtuvien biologisten ja kemiallisten prosessien yhdistymisen seurauksena muodostuu monimutkainen orgaanisten aineiden kompleksi, joka yhdistetään termiin "humus".

Vesiviljelymenetelmä

Minkä suoloja kasvi tarvitsee ja miten niillä on vaikutusta kasvien ja kehitykseen, selvisi vesiviljelmistä saatu kokemus. Vesikasvien menetelmä on kasvien viljely ei maaperässä, vaan mineraalisuolojen vesiliuoksessa. Kokeen tavoitteesta riippuen voit sulkea yhden suolan pois liuoksesta, vähentää tai lisätä sen pitoisuutta. Todettiin, että typpeä sisältävät lannoitteet myötävaikuttavat fosforia sisältävien kasvien kasvuun - hedelmien varhaiseen kypsymiseen ja kaliumia sisältävien kasvien kasvuun - orgaanisten aineiden nopein virtaus lehtiä juuriin. Tässä suhteessa typpeä sisältäviä lannoitteita suositellaan käytettäväksi ennen kylvöä tai kesän alkupuolella, jotka sisältävät fosforia ja kaliumia - kesän jälkipuoliskolla..

Vesiviljelymenetelmää käyttämällä oli mahdollista selvittää paitsi kasvin tarve makroelementeille, myös selventää eri hivenaineiden roolia.

Tällä hetkellä on tapauksia, joissa kasveja kasvatetaan hydroponisilla ja aeroponisilla menetelmillä.

Hydroponics - kasvien kasvattaminen soralla täytetyissä astioissa. Ravinneliuos, joka sisältää tarvittavat elementit, johdetaan astiaan alhaalta..

Aeroponics on ilmakasvien kulttuuri. Tällä menetelmällä juurijärjestelmä on ilmassa ja ruiskutetaan automaattisesti (useita kertoja tunnissa) heikolla ravisuolaliuoksella.

Miltä juuri näyttää?

Numeron neliöjuuri on luku, jonka neliö (kertomuksen tulos itsessään) on yhtä suuri, ts. Yhtälön ratkaisu muuttujan suhteen. [1] [2] Usein tällä käsitteellä tarkoitetaan kapeampaa - ns. aritmeettinen neliöjuuri - ei-negatiivinen luku.

Järkevät numerot

Rationaaliluvun juuri on rationaaliluku vain, jos ja (yhteisten tekijöiden vähentämisen jälkeen) ovat luonnollisten lukujen neliöitä.

Juuren jatkuva murto-osa rationaaliluvusta on aina jaksollista (mahdollisesti edeltävällä jaksolla), mikä sallii helposti laskea hyvät rationaaliset likiarvot heille käyttämällä lineaarisia toistoja, ja toisaalta rajoittaa likiarvon tarkkuutta: frac<1>"src =" http://upload.wikimedia.org/math/5/f/7/5f7068d6e6c8bd8bf9d4800c3e1bf799.png..

Oikeat numerot

Luonnollisten lukujen tapauksessa yhtälö ei ole aina ratkaistavissa rationaalilukuina, mikä johti uusien numeeristen kenttien ilmestymiseen. Näistä laajennuksista vanhin on todellisten (todellisten) numeroiden kenttä.

Lause. Millä tahansa positiivisella numerolla a on täsmälleen kaksi todellista juuria, jotka ovat yhtä suuret absoluuttisessa arvossa ja vastakkaiset merkissä. [5]

Positiivisen luvun ei-negatiivista neliöjuuria kutsutaan aritmeettiseksi neliöjuureksi ja sitä merkitään radikaalimerkillä. [6]

Monimutkaiset numerot

Monimutkaisten ratkaisumäärien kentällä on aina kaksi, eroavat vain merkistä (paitsi nollan neliöjuuressa). Monimutkaisen numeron juurelle osoitetaan usein merkintää, mutta tätä nimitystä on käytettävä huolellisesti. Yleinen virhe:

Kompleksinumeron neliöjuuren purkamiseksi on kätevää käyttää kompleksinumeron eksponentiaalista merkintää: if

jossa moduulin juuri ymmärretään aritmeettisen arvon kannalta ja k voi ottaa arvot k = 0 ja k = 1, siis lopulta tulos on kaksi erilaista tulosta.

Materiaalianalyysi

Neliöjuuria kutsutaan myös todellisen muuttujan funktioksi, joka assosioituu jokaisen juuren aritmeettiseen arvoon. [7] Tämä toiminto on erityistoiminto tehotoiminnolle c. Tämä toiminto on sujuva 0 "src =" http://upload.wikimedia.org/math/d/b/0/db08215f05646b5b548b2e4fe041bc26.png "/>, mutta nollassa se on jatkuva oikealla, mutta ei erotettavissa.

yleistyksiä

Neliöjuuret otetaan käyttöön lomakeyhtälöiden ratkaisuna muille kohteille: matriisit [8], funktiot [9], operaattorit [10] jne. Operaationa voidaan käyttää melko mielivaltaisia ​​kertoimia, esimerkiksi superpositiota..

Algebrassa käytetään seuraavaa muodollista määritelmää: Olkoon ryhmähappo ja. Elementtiä kutsutaan if: n neliöjuureksi.

Neliöjuuri perusgeometriassa

Neliöjuuret liittyvät läheisesti elementtigeometriaan: jos annetaan segmentti, jonka pituus on 1, niin kompassin ja viivaimen avulla voit rakentaa niitä ja vain niitä segmenttejä, joiden pituus on kirjoitettu lausekkeilla, jotka sisältävät kokonaislukuja, merkkejä neljästä aritmeettisesta operaatiosta, neliöjuurista ja ei muuta. [yksitoista]

Tietotekniikan neliöjuuri

Monissa toiminnallisen tason ohjelmointikielissä (samoin kuin LaTeX-merkintäkielissä) neliöjuuren funktio on merkitty sqrt: llä (neliöjuuresta).

Neliöjuurten algoritmit

Tietyn luvun neliöjuuren löytämistä tai laskemista kutsutaan (neliön) juurin purkamiseksi.

Taylor-sarjan laajennus

Aritmeettinen neliöjuuren erottaminen

Lukujen neliöillä seuraavat yhtäläisyydet ovat totta:

Toisin sanoen voit selvittää numeron neliöjuuren kokonaislukuosan vähentämällä siitä kaikki pariton numerot järjestyksessä, kunnes jäljellä oleva osuus on pienempi kuin seuraava vähennetty luku tai yhtä suuri kuin nolla, ja laskemalla suoritettujen toimien lukumäärä. Esimerkiksi näin:

3 vaihetta suoritetaan, 9: n neliöjuuri on 3.

Tämän menetelmän haittana on, että jos erotettu juuri ei ole kokonaisluku, voit selvittää vain sen kokonaisluvun osan, mutta ei tarkemmin. Samanaikaisesti tämä menetelmä on melko saavutettavissa lapsille, jotka ratkaisevat yksinkertaisimmat matemaattiset ongelmat, jotka vaativat neliöjuuren erottamisen.

karkea arvio

Monet algoritmit positiivisen reaaliluvun S neliöjuurten laskemiseksi vaativat jonkin alkuarvon. Jos alkuarvo on liian kaukana todellisesta juuriarvosta, laskenta hidastuu. Siksi on hyödyllistä saada karkea arvio, joka voi olla hyvin epätarkka, mutta helppo laskea. Jos S ≥ 1, olkoon D desimaalin tarkkuuden vasemmalla puolella olevien numeroiden S lukumäärä. Jos S Jos D on pariton, D = 2n + 1, käytä sitten. Jos D on parillinen, D = 2n + 2, käytä sitten

Kahta ja kuutta käytetään, koska ja

Kun työskentelet binaarisessa järjestelmässä (kuten tietokoneiden sisällä), tulisi käyttää erilaista arviota (tässä D on binaarinumeroiden lukumäärä).

Geometrinen neliöjuuren poisto

Erityisesti, jos, a, niin [12]

Iteratiivinen analyyttinen algoritmi

sarake

Tämän menetelmän avulla voit löytää minkä tahansa todellisen luvun juuren likimääräisen arvon tietyllä tarkkuudella. Tämän menetelmän voi hallita jopa opiskelija. Menetelmän haitoihin sisältyy laskennan kasvava monimutkaisuus havaittujen lukumäärien kasvun kanssa.

Manuaaliseen juurten erottamiseen käytetään tietuetta, joka on samanlainen kuin jakaminen sarakkeella. Numero on kirjoitettu, jonka juuri etsitään. Sen oikealla puolella saamme vähitellen halutun juuren numerot. Olkoon juuri poimittava luvusta, jolla on rajallinen määrä desimaalia. Aluksi henkisesti tai merkkien avulla, me jaamme numeron N kahden numeron ryhmiin desimaalipilkun vasemmalla ja oikealla puolella. Ryhmiä täydennetään tarvittaessa nolla-asteikolla - koko osa täydennetään vasemmalla, jae oikealla. Joten 31234.567 voidaan edustaa nimellä 03 12 34. 56 70. Toisin kuin jako, purkutyöt suoritetaan sellaisilla 2-numeroisilla ryhmillä.

Algebra

Oppitunnin kansi otettu lähteestä.

Tuntisuunnitelma:

Aritmeettinen neliöjuuri

Mieti ongelmaa. Tiedämme, että neliön pituus on 14 cm. Mikä on tämän neliön pinta-ala? Geometrian perusteella tiedämme, että vastaamiseen kysymykseen sinun täytyy vain kertoa sivu itsessään, eli neliöida se:

S = 14,14 = 196 cm2

Mieti nyt käänteistä ongelmaa. Tiedetään, että neliön pinta-ala on 196 cm 2. Mikä on sen sivun pituus? On selvää, että se on 14 cm. Vastauksen löytämiseksi suoritimme päinvastoin kuin nosto toiseen asteeseen. Matematiikassa sitä kutsutaan neliöjuuren uuttoksi, ja itse numeroa 14 kutsutaan 196: n neliöjuureksi.

Joten 5 on 25: n neliöjuuri siitä lähtien

Hyvin usein neliöjuuri ei ole kokonaisluku, vaan murto-osa. Joten 2: n juuri on suunnilleen yhtä suuri kuin 1.414213562 (juuren arvon laskentamenetelmistä keskustellaan samassa oppitunnissa, mutta myöhemmin).

Huomaa, että joskus voit määrittää numeroon yhden eikä kaksi neliöjuuren kerrallaan. Ne eroavat merkistä, mutta vastaavat absoluuttista arvoa (moduulia). Joten luku (–5) on myös 25: n neliöjuuri:

Yleensä millä tahansa positiivisella numerolla on 2 neliöjuuria, millään negatiivisella numerolla ei ole niitä ollenkaan, ja vain nollalla on yksi juuriarvo - nolla itse. Todista se.

Olkoon mielivaltainen luku a, jolle neliöjuuri on laskettava. Merkitse tämä juuri x: ksi. Sitten määritelmän mukaan voit tehdä yhtälön:

Yritetään ratkaista se graafien avulla. Luo tämä varten erilliset kuvaajat tasa-arvon vasemmalle ja oikealle puolelle. Molemmat kuvaajat, y = a ja y = x 2, olemme rakentaneet jo 7. luokassa. Seurauksena on kolme tapausta:

Voidaan nähdä, että> 0: lla kuvaajat leikkaavat 2 pistettä, ts. On olemassa kaksi neliöjuuria, jotka eroavat vain niiden merkkien välillä.

Selvyyden vuoksi matemaatikot esittelivät aritmeettisen neliöjuuren käsitteen.

Sanotaan vielä kerran, että numerolla voi olla kaksi neliöjuuria. Esimerkiksi numero 25 on –5 ja 5:

Aritmeettinen on neliöjuuri, jolla ei ole miinusmerkkiä..

Aritmeettiselle neliöjuurelle on erityinen symboli, jota kutsutaan radikaalin merkiksi tai yksinkertaisesti juuren merkiksi. Se näyttää tältä:

Jos joudut osoittamaan, että esimerkiksi 25: n aritmeettinen neliöjuuri (usein he yksinkertaisesti sanovat juuri) on 5, saat seuraavan tietueen:

Radikaalin merkin alla voi olla myös lauseke, joka sisältää muuttujia. Sen nimeämiseksi käytetään termiä radikaali ilmaisu. Joten, levyllä

lauseke x2 + 2x + 2 on radikaali.

Ymmärsimme jo, että on mahdotonta erottaa neliöjuuria negatiivisesta luvusta, koska jokaisesta todellisesta määrästä kerrottuna itsestään tulee ei-negatiivinen. Siksi, jos negatiivinen luku on radikaalin merkin alla, he sanovat, että lausekkeella ei ole järkeä (samoin kuin murto-lausekkeella, jonka nimittäjässä on nolla). Joten merkityksettömät lausekkeet ovat:

Jos muuttuja on juuren alla, niin joillekin arvoille ilmaisu juuren kanssa on järkevää, mutta toisille se ei ole. Joten ilmaisu

kun x = 9: n arvo on kaksi:

Mutta jos x = 4, niin saamme merkityksettömän lausekkeen:

Tutkittaessa irrationaalisen lukumäärän käsitettä, kohtaamme jo juuret. Historiallisesti juuri 2: n juurista tuli ensimmäinen numero, jolle sen irrationaalisuus osoitettiin. Numeroita, joiden neliöjuuri on kokonaisluku, kutsutaan kokonaisiksi neliöiksi. Esimerkkejä täysruuduista ovat:

  • 4 (koska 2 = 4);
  • 9 (3 2 = 9);
  • 16 (4 2 = 16).

Kaikille luonnollisille numeroille, jotka eivät ole täydellisiä neliöitä, voidaan osoittaa, että niiden neliöjuuret ovat irrationaalisia lukuja.

On syytä huomata, että juurten irrationaalisuuksien löytäminen muutti muinaisten kreikkalaisten ajatuksia numeroista ja oli valtava rooli matematiikan kehittämisessä.

Mieti nyt toimien järjestystä juurtuneissa lausekkeissa. Ensin operaatiot suoritetaan aina suluissa, sitten radikaalin merkillä, sitten tapahtuu eksponentraatio ja vasta sitten muut aritmeettiset toimenpiteet. Esimerkiksi, on lauseke

Näytämme toimintajärjestyksen korostamalla ne punaisella:

Jos laskelmien aikana juuria ei saatu täydestä neliöstä, se tulisi jättää sellaisenaan ja laskelmien tulisi jatkua, esimerkiksi:

Samat juuret voidaan lisätä ja vähentää toistensa kanssa:

Neliöjuuren määritelmä merkitsee ilmeistä identiteettiä:

Tässä on esimerkki tietyillä numeroilla:

On kuitenkin tärkeää ottaa huomioon, että negatiivinen luku ei voi olla radikaalin merkillä. Joten tallennus on väärin

koska radikaalin alla vasemmalla on negatiivinen luku. Mutta seuraava merkintä on sallittu:

koska radikaalin vasemmalla puolella on positiivinen määrä (- 3) • (- 3) = 9.

Muista, että numeron moduuli on sen arvo, joka on otettu merkkiä huomioon ottamatta. Hakasulkeita käytetään osoittamaan moduulia:

Voimme kirjoittaa seuraavan identiteetin, joka yhdistää numeron moduulin sen juureen:

Neliöjuuren laskenta

Aikaisemmin käytimme "sarake" -menetelmää aritmeettisten toimintojen suorittamiseen. Ja kuinka laskea neliöjuuri? Temppuja on useita, harkitsemme niistä yksinkertaisimpia.

On selvää, että mitä suurempi numero, sitä suurempi sen neliö on. Esimerkiksi 5> 4 ja siten 5 2> 4 2. Siksi päinvastoin on myös totta: mitä suurempi luku, sitä suurempi sen neliöjuuri.

Voit varmistaa tämän funktion y = x 2 kuvaajalla. Merkitsemme siihen numerot ja niiden neliöjuuret:

Voidaan nähdä, että mitä suurempi lukumäärä sijaitsee Oy-akselilla, neliöjuuri sen oksiakselin oikealla puolella.

Tietäen tämän ominaisuuden, on helppo arvioida juuren arvo mistä tahansa luvusta. Oletetaan tämä osoittamalla laskemalla juuriarvo 2. Tiedämme sen

Nyt voimme kirjoittaa eriarvoisuudet:

Osoittautuu, että juuren arvo on välillä 1,4–1,5, ts.

Yritetään määrittää toinen luku desimaalin jälkeen:

Tästä seuraa, että:

Jatkamalla näitä laskelmia, voit laskea minkä tahansa desimaalin tarkkuudella:

Tietenkin, käytännössä kaikki laskelmat suoritetaan tietokoneella, ei manuaalisesti. Ohjelmoijat pyrkivät kuitenkin kirjoittamaan ohjelmia niin, että ne toimivat mahdollisimman nopeasti, ts. He saavat tuloksen suorittamalla vähemmän laskelmia. Siksi käytännössä käytetään puolittamismenetelmää (puolittaminen), mikä on tehokkaampaa. Ensin on löydettävä selvä arvio juurelle, esimerkiksi:

Saimme, että 2: n juuri on välillä 1 ja 2. Löydämme näiden kahden arvon aritmeettisen keskiarvon:

Neliytetään aritmeettinen keskiarvo:

Nyt voimme kirjoittaa eriarvoisuuden

Toisin sanoen etsimämme arvo on välillä 1 - 1,5. Jälleen löydämme näiden kahden arvioinnin keskiarvon ja neliöitä se:

Tämän tietäen voimme kirjoittaa:

Jokaisessa seuraavassa laskelmien vaiheessa määritämme entistä tarkemmin juuriarviot, kun taas emme tee kovin paljon laskelmia.

Määräajoin voi olla tehtäviä, joissa joudut arvioimaan karkeasti neliöjuuren arvo.

Esimerkki. Kuinka monta kokonaislukua koordinaattilinjalla on välillä

Ratkaisu: Lähin numeroon 60 täydellistä neliötä on 64 ja 49, joten voit kirjoittaa:

Voit myös arvioida 140: n juuren:

Saamme, että juurten välillä on neljä numeroa: 8, 9, 10 ja 11:

Neliöjuuren toiminto

Jokainen luku vastaa enintään yhtä aritmeettista neliöjuuria. Siksi kaava

asettaa toiminnon. Tutki häntä.

Koska radikaalin merkillä voi olla vain ei-negatiivinen luku, juuren verkkotunnus on kaikkien ei-negatiivisten lukujen joukko. Sama alue hyväksyttäviä arvoja.

Piirrämme pisteiden neliöjuuren. Laske sen arvot useissa kohdissa (ilmoitettu tarkkuus on korkeintaan 0,1):

Neliöjuuren funktion kuvaaja näyttää tältä:

Huomaa, että saatu viiva muistuttaa jonkin verran funktion y = x 2 tavallista paraboolia, joka ”asetettiin sivulle”, toisin sanoen sitä käännettiin vastapäivään 90 °, ja sen jälkeen yksi oksista poistettiin:

Ja tämä ei ole onnettomuus. Tosiasia, että nämä kaksi toimintoa ovat käänteisiä toisilleen. Käytämme todellakin paraboolia kuvaajaa 2: n arvon löytämiseksi. Nuolet osoittavat toimintojen järjestyksen:

Meidän on löydettävä Ox-akselilta a, rakennettava pystysuora viiva löydetystä pisteestä kuvaajan leikkauskohtaan ja piirrettävä sitten vaakasuora viiva. Mutta jos meidän on laskettava positiivisen luvun b juuri, meidän on toimittava päinvastaisessa järjestyksessä: löydä b pystyakselilta, piirrä vaakasuora viiva, kunnes se leikkaa parabolin kanssa, ja laske sitten kohtisuoraan vaaka-akseliin nähden:

Osoittautuu, että voit käyttää yhtä kuvaajaa laskeaksesi molemmat toiminnot! Mutta koska funktioargumentti on perinteisesti merkitty kirjaimella x, ja itse funktio y: nä, samoin kuin Ox-akseli, on sijoitettu vaakasuoraan, jotta saadaan käänteisen funktion kuvaaja, sinun on käännettävä kirjaimellisesti pääfunktion kuvaajaa siten, että akselit Ox ja Oy vaihtuvat:

Itse asiassa, rotaation tuloksena, saimme jo tutun kaavion x: n juurifunktiosta. Jää vain nimetä akseli uudelleen oikein ja kääntää numerot tavanomaiseen asentoon.

Näiden kuvaajien suhteellinen sijainti voidaan kuvata toisella tavalla. Ne ovat symmetrisiä suhteessa suoraan linjaan, jonka kuvaaja y = x määrittelee. Tosiaankin, jos pisteellä on koordinaatit (a; b) kuuluu parabolaan y = x 2, niin juuren määritelmän mukaan käänteisten koordinaattien (b; a) kanssa pisteen on sijaittava juuren kuvaajassa. Kaksi tällaista pistettä ovat kuitenkin symmetrisiä viivan y = x suhteen:

Siksi käänteisten funktioiden kuvaajat ovat symmetrisiä tämän suoraviivan suhteen:

Pelkästään selvyyden vuoksi (jotta kyseinen symmetria olisi ilmeinen) kiertämme tätä kuvaa 45 °:

Aritmeettinen neliöjuuriominaisuudet

Joidenkin lausekkeiden yksinkertaistamiseksi sinun on käytettävä erityisiä sääntöjä juurten kanssa työskentelemiseen. Me muotoilemme ensimmäisen niistä:

Matemaattisesti tämä sääntö on kirjoitettu näin:

Identiteetti toimii useille tekijöille samoin kuin vastakkaiseen suuntaan:

Seuraava muuntaminen ei kuitenkaan kelpaa:

Tosiasia on, että radikaalin merkin alla ei voi olla negatiivista numeroa! Vasemmalla kaksi radikaalia ovat negatiivisia lukuja, ja oikealla on jo positiivinen määrä (- 2) • (- 32) = 64. Seurauksena on, että vasemmalla olevalla lausekkeella ei ole merkitystä, ja oikealla on, joten niiden välillä ei voi olla yhtämerkkiä..

Todistakaamme tämä sääntö. Tätä varten nostamme ilmaisun toiseen voimaan

Saimme, että juuri määrittelemällä, voimme kirjoittaa:

Seuraava ominaisuus koskee fraktioita:

Symbolisesti se näyttää tältä:

Tässä on esimerkkejä tämän ominaisuuden käytöstä:

Nyt todistamme tämän säännön. Voidaan kirjoittaa, että

Siksi määritelmän mukaan tasa-arvo

Kolmas sääntö auttaa poistamaan juuren valtaan nostetusta numerosta:

missä a on reaaliluku (mukaan lukien negatiivinen) ja k on luonnollinen luku.

Tämä identiteetti auttaa suorittamaan seuraavat toimet:

On syytä huomata, että jälkimmäisessä tapauksessa juuri ei ole negatiivinen luku, koska itse asiassa (- 2) 10 on positiivinen luku. Yleensä nostettaessa mitä tahansa lukua tasaiseen voimaan saadaan ei-negatiivinen luku.

Todistaaksemme tämän tosiasian käytämme sitä tosiasiaa, että

Tämän tietäen voit suorittaa muuntamisen:

Muunna neliöjuuren lausekkeet

Oppineet säännöt auttavat muuttamaan joitain lausekkeita. Joten, voit poistaa tekijän juurimerkin alta:

Tätä toimintoa voidaan käyttää lisäämään juuret, joilla radikaalin merkin alla näyttää olevan eri numerot:

Päinvastaista toimintaa kutsutaan tekijän tuomiseksi juurimerkkiin:

Esimerkki. Mikä luku on suurempi

Päätös. Lisää kerroin juurimerkin alle:

Näistä kahdesta juurista suurempi on siis se, jolla on suurempi juuriekspressio

Tästä seuraa, että

Huomaa, että radikaalin merkin alle voidaan ottaa yksinomaan ei-negatiivinen tekijä! Miinusmerkin tulisi pysyä radikaalin edessä:

On yleisesti hyväksyttyä, että radikaalia sisältävän jakeen kanssa on helpompaa työskennellä, kun tämä radikaali on osoittajassa, ei nimittäjässä. Tässä suhteessa he yrittävät päästä eroon nimittäjän irrationaalisuudesta. Yksinkertaisimmassa tapauksessa murto kerrotaan yksinkertaisesti neliöjuurilla:

Kuten näette, juuri "siirtyi" nimittäjästä osoittajaan. Hieman monimutkaisempi on irrationaalisuudesta vapautuminen, jos nimittäjä on juurten summa tai ero. Tässä tapauksessa neliöerokaava auttaa:

Tarkastellaan joitain tehtäviä.

Esimerkki. Löydä lausekkeen suurin arvo

Päätös. Neliöeron kaavan mukaan voit kirjoittaa:

Tätä tietäessä korvaa jakson nimittäjä:

Tämä murto ottaa suurimman arvon, kun sen osoitin, päinvastoin, ottaa minimiarvon. Tämä tapahtuu a = 0: lla, koska aritmeettinen neliöjuuri ei voi olla negatiivinen. Silloin suurin murto-arvo on

Esimerkki. Yksinkertaista lauseketta

Varsin vaikea on tapaus, kun juuren merkin alla on toinen juuri. Kirjoita lausekkeet

kutsutaan kaksoisradikaaliksi.

On olemassa kaksoisradikaali kaava, jolla sitä voidaan joskus yksinkertaistaa:

Tämän identiteetin pätevyyden osoittamiseksi neliöitämme sen oikea puoli käyttämällä summan (x ± y) 2 = x 2 ± 2x + y 2 neliön kaavaa:

On erittäin tärkeää, että 2 - b: n arvon on oltava ei-negatiivinen. Mieti kaksoisradikaalien muuntamista esimerkillä. Olkoon välttämätöntä vapautua ilmaisun ulkoisesta radikaalista

Tätä varten esittelemme ensin kasetin sisäisen radikaalin merkin alla ja sitten käytämme kaavaa:

Huomaa, että kaksoisradikaalikaava on hyödyllinen, jos lauseke a - b on täysi neliö.

Juuren ominaisuudet: formulaatiot, todisteet, esimerkit

Sisältö:

Tämä artikkeli on kokoelma yksityiskohtaisia ​​tietoja juuriominaisuuksista. Aihetta tarkasteltaessa aloitamme ominaisuuksista, tutkimme kaikki formulaatiot ja annamme todisteet. Aiheen korjaamiseksi otamme huomioon n. Asteen ominaisuudet.

Juuren ominaisuudet

Puhumme kiinteistöistä.

  1. Kertolaskujen a ja b ominaisuus, joka esitetään yhtäläisyytenä a · b = a · b. Sitä voidaan esittää positiivisina tekijöinä tai yhtä suureina kuin nolla a 1, a 2,..., k k kuin 1 · a 2 ·... · a k = a 1 · a 2 ·... · a k;
  2. osamäärästä a: b = a: b, a ≥ 0, b> 0, se voidaan kirjoittaa myös tässä muodossa a b = a b;
  3. Ominaisuus a: n voimasta, jossa on parillinen eksponentti a · m = m m jos tahansa numerossa a, esimerkiksi ominaisuus 2 = a: n neliöltä.

Missä tahansa esitetyistä yhtälöistä voit vaihtaa osia ennen viivaa ja sen jälkeen, esimerkiksi yhtälö a · b = a · b muuttuu muodona a · b = a · b. Tasa-arvoominaisuuksia käytetään usein yksinkertaistamaan yhtälöitä..

Ensimmäisten ominaisuuksien todistaminen perustuu neliöjuuren määritelmään ja asteiden ominaisuuksiin luonnollisella eksponentilla. Kolmannen ominaisuuden perustelemiseksi on tarpeen viitata luvun moduulin määritelmään.

Ensinnäkin on todistettava neliöjuuren ominaisuudet a · b = a · b. Määritelmän mukaan on otettava huomioon, että a · b on positiivinen luku tai yhtä suuri kuin nolla, joka on yhtä suuri kuin a · b neliöitäessä. Lausekkeen a · b arvo on positiivinen tai yhtä suuri kuin nolla ei-negatiivisten lukujen tuloksena. Kertolaskujen asteen ominaisuus antaa meille mahdollisuuden edustaa tasa-arvoa muodossa (a · b) 2 = a 2 · b 2. Neliöjuuren määritelmän mukaan a 2 = a ja b 2 = b, sitten a · b 2 = a 2 · b 2 = a · b.

Samalla tavalla voimme todistaa, että k-kertoimen tuloksesta a 1, a, 2,..., k on näiden tekijöiden neliöjuurten tulos. Itse asiassa, a 1 · a 2 ·... · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 ·... · a k 2 = a 1 · a 2 ·... · a k.

Tästä tasa-arvosta seuraa, että a 1 · a 2 ·... · a k = a 1 · a 2 ·... · a k.

Katsotaanpa joitain esimerkkejä aiheen vakiinnuttamiseksi..

3 · 5 2 5 = 3 · 5 2 5, 4, 2 · 13 1 2 = 4, 2 · 13 1 2 ja 2, 7 · 4 · 12 17 · 0, 2 (1) = 2, 7 · 4 · 12 17,0, 2 (1).

Jakajan aritmeettisen neliöjuuren ominaisuudet on osoitettava: a: b = a: b, a ≥ 0, b> 0. Ominaisuuden avulla voimme kirjoittaa yhtälön a: b 2 = a 2: b 2 ja a 2: b 2 = a: b, kun taas a: b on positiivinen luku tai yhtä suuri kuin nolla. Tämä ilmaisu on todiste.

Esimerkiksi 0: 16 = 0: 16, 80: 5 = 80: 5 ja 3 0, 121 = 3 0, 121.

Tarkastellaan neliön neliön juuria. Se voidaan kirjoittaa yhtälön muodossa muodossa 2 = a. Tämän ominaisuuden todistamiseksi on tarpeen harkita yksityiskohtaisesti useita yhtäläisyyksiä ≥ 0 ja 0.

On selvää, että ≥ 0: n yhtälö a 2 = a pitää voimassa. Kun a 0 yhtäläisyys a 2 = - a on totta. Itse asiassa tässä tapauksessa a> 0 ja (- a) 2 = a 2. Voimme päätellä, että a 2 = a, a ≥ 0 - a, a 0 = a. Tätä tarvitaan todistaa.

Katsotaanpa joitain esimerkkejä..

52 = 5 = 5 ja - 0, 36 2 = - 0, 36 = 0, 36.

Osoitettu ominaisuus auttaa perustelemaan 2 · m = a m, missä a on todellinen ja m on luonnollinen luku. Tutkinnon korottaminen antaa meille todellakin korvata asteen a · m lausekkeella (a m) 2, sitten a 2 · m = (a m) 2 = a m.

3 8 = 3 4 = 3,4 ja (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7.

Kuudennen asteen juuren ominaisuudet

Ensin on harkittava n: nnen asteen juurten tärkeimmät ominaisuudet:

  1. Lukujen a ja b tuloksesta saatu ominaisuus, joka on positiivinen tai yhtä suuri kuin nolla, voidaan ilmaista yhtälönä a · bn = an · bn, tämä ominaisuus pätee k-numeron a 1, a 2,..., ak, kuten 1 · a 2 ·... · akn = a 1 n · a 2 n ·... · akn;
  2. murtoluvun luvulla on ominaisuus a b n = a n b n, missä a on mikä tahansa reaaliluku, joka on positiivinen tai nolla, ja b on positiivinen reaaliluku;
  3. Kaikille a ja parillisille eksponentteille n = 2 · m, a 2 · m 2 · m = a on pätevä, ja parittomalle n = 2 · m - 1, yhtälö a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
  4. Ominaisuus, joka erotetaan m n = a n · m: stä, missä a on mikä tahansa luku positiivinen tai yhtä suuri kuin nolla, n ja m ovat luonnollisia lukuja, tämä ominaisuus voidaan myös esittää muodossa... a n k n 2 n 1 = a n 1.. N k;
  5. Jokaiselle luonnolliselle ei-negatiiviselle a ja mielivaltaiselle n ja m: lle voidaan määritellä myös oikeudenmukainen tasa-arvo a m n · m = a n;
  6. N-asteen ominaisuus luvun a asteesta, joka on positiivinen tai yhtä suuri kuin nolla luontoissuorituksena, m, määritettynä yhtälöllä a m n = a n m;
  7. Vertailuominaisuus, jolla on samat indikaattorit: kaikille positiivisille numeroille a ja b siten, että a b, epätasa-arvo a n b n;
  8. Vertailuominaisuus, jolla on samat numerot juuren alla: Jos m ja n ovat positiivisia kokonaislukuja siten, että m> n, niin 0 a 1: lle epätasa-arvo a m> a n pitää paikkansa ja a> 1 a m a n: lle.

Edellä annetut yhtälöt ovat oikeudenmukaisia, jos osat ennen ja jälkeen merkkiä vaihdetaan tasaisesti. Niitä voidaan käyttää tässä muodossa. Tätä käytetään usein lausekkeiden yksinkertaistamisessa tai muuntamisessa..

Edellä annettu todistus juuren ominaisuuksista perustuu määritelmään, asteen ominaisuuksiin ja luvun moduulin määritelmään. Nämä ominaisuudet on todistettava. Mutta ensin ensin.

  1. Ensin todistetaan n: nnen asteen juuren ominaisuudet tuotteesta a · b n = a n · b n. A: lle ja b: lle, jotka ovat positiivisia tai yhtä suuret kuin nolla, a n · bn-arvo on myös positiivinen tai yhtä suuri kuin nolla, koska se on seurausta ei-negatiivisten lukujen kertomisesta. Luontoissuorituksen ominaisuuden ansiosta voimme kirjoittaa yhtälön a n · b n n = a n n · b n n. Yhdennennen voiman juuren määritelmällä a n n = a ja b n n = b, siksi a n · b n n = a · b. Tuloksena oleva tasa-arvo on tarkalleen mitä todistettiin.

Tämä ominaisuus on todistettu samoin k-kertoimien tuloksena: ei-negatiivisilla lukuilla a 1, a 2,..., a n, a 1 n · a 2 n ·... · a k n ≥ 0.

Annamme esimerkkejä n: nnen asteen juuriominaisuuden käytöstä tuotteesta: 5 · 2 1 2 7 = 5 7 · 2 1 2 7 ja 8, 3 4 · 17, (21) 4 · 3 4 · 5 7 4 = 8, 3 · 17, (21) · 5 7 4.

  1. Oletetaan todistaa juuren ominaisuus osamäärästä a b n = a n b n. Jos ≥ 0 ja b> 0, ehto a n b n ≥ 0 täyttyy, ja a n b n n = a n n b n n = a b.

8 27 3 = 8 3 27 3 ja 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

  1. Seuraavaa vaihetta varten on tarpeen todistaa n: nnen tehon ominaisuudet lukusta n: n tehoon. Esitämme tämän yhtälön muodossa a 2 · m 2 · m = a ja a · m - 1 2 · m - 1 = a mille tahansa todelliselle a ja luonnolliselle m: lle. Jos ≥ 0, saadaan a = a ja a 2 · m = a 2 · m, mikä todistaa tasa-arvon a 2 · m 2 · m = a ja yhtälön a 2 · m – 1 2 · m – 1 = a on ilmeinen. Kun 0, saadaan vastaavasti a = - a ja a 2 · m = (- a) 2 · m = a 2 · m. Numeron viimeinen muunnos on pätevä tutkinnon ominaisuuden mukaan. Juuri tämä todistaa yhtäläisyyden a 2 · m 2 · m = a ja 2 · m - 1 2 · m - 1 = a on totta, koska parittomalle asteelle katsomme - c 2 · m - 1 = - c 2 · m - 1 jokaiselle luvulle c, positiivinen tai yhtä suuri kuin nolla.

Saatujen tietojen yhdistämiseksi harkitsemme useita esimerkkejä kiinteistön käytöstä:

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 ja (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

  1. Todistetaan seuraava tasa-arvo a m n = a n · m. Tätä varten on vaihdettava numerot ennen yhtälöä ja sen jälkeen paikoissa a n · m = a m n. Tämä tarkoittaa oikeaa merkintää. A: lle, joka on positiivinen tai yhtä suuri kuin nolla, muodosta a m n on positiivinen luku tai yhtä suuri kuin nolla. Siirrymme eksponentisaation ja määritelmän omaisuuteen. Niitä voidaan käyttää muuttamaan yhtäläisyyksiä muodossa a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Tämä todistaa juuren katsotun ominaisuuden juuresta.

Muut ominaisuudet todistetaan samalla tavalla. Todellakin,... a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 ·... N k =... a n k n 3 n 2 n 2 n 3.. N k =... a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 ·... N k =... = a n k n k = a.

Esimerkiksi 7 3 5 = 7 5 · 3 ja 0, 0009 6 = 0, 0009 2 · 2 · 6 = 0, 0009 24.

  1. Osoitetaan seuraava ominaisuus a m n · m = a n. Tätä varten on tarpeen osoittaa, että n on positiivinen luku tai yhtä suuri kuin nolla. Kun nostetaan voimaan, n · m on yhtä suuri kuin m. Jos luku a on positiivinen tai yhtä suuri kuin nolla, niin a: n: nnen tehon arvo on positiivinen tai yhtä suuri kuin nolla. Lisäksi a n · m n = a n n m, tarpeen mukaan.

Saatujen tietojen vakiinnuttamiseksi tarkastelemme useita esimerkkejä

  1. Todistetaan seuraava ominaisuus - juuren ominaisuus asteella, jonka muoto on m m = a n m. On selvää, että ≥ 0: n aste n m on ei-negatiivinen luku. Lisäksi sen n-aste on yhtä suuri kuin m, todellakin, a n m n = a n m · n = a n n m = a m. Tämä osoittaa tutkinnon katsotun ominaisuuden.

Esimerkiksi 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

  1. On tarpeen todistaa, että kaikille positiivisille lukuille a ja b ehto a b täyttyy. Tarkastellaan eriarvoisuutta a n b n. Käytämme päinvastaista menetelmää a n ≥ b n. Edellä mainitun ominaisuuden mukaan epätasa-arvon katsotaan olevan totta a n n ≥ b n n, ts. A ≥ b. Mutta tämä ei täytä ehtoa a b. Siksi a n b n b: lle.

Anna esimerkiksi 12 4 15 2 3 4.

  1. Tarkastellaan n: nnen asteen juuriominaisuutta. Ensin on tarkasteltava eriarvoisuuden ensimmäistä osaa. Jos m> n ja 0 a 1, a m> a n on totta. Oletetaan, että a m ≤ a n. Ominaisuudet yksinkertaistavat lausekkeen a n m · n ≤ a m m · n. Sitten luonnollisella eksponentilla varustetun asteen ominaisuuksien mukaan eriarvoisuus a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n pitää voimassa, eli a n ≤ a m. Saatu arvo arvoille m> n ja 0 a 1 ei vastaa yllä annettuja ominaisuuksia.

Samalla tavalla voimme todistaa, että m> n ja a> 1 olosuhteissa a m a n.

Edellä mainittujen ominaisuuksien korjaamiseksi tarkastelemme useita erityisiä esimerkkejä. Harkitse eriarvoisuutta tiettyjen numeroiden avulla.